在线性代数中，线性方程组是一个重要的研究对象，正是因为对线性方程组的研究，才衍生出线性代数的很多理论（矩阵，行列式，向量组），而这些理论有为解决线性方程组的求解问题提供了便利。
目录
1 概念
1.1 标准形式
1.2 向量形式
1.3 矩阵形式
2 齐次线性方程组
3 增广矩阵
4 线性方程组的初等变换
5 方程组的运算
6 上下节
7 参考资料
概念[]
标准形式[]
我们将形如下面的方程组称为线性方程组，其中
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
∈
P
{\displaystyle x_1, x_2, \cdots, x_n \in \mathbb{P}}
是未知变元，
a
i
j
∈
P
,
i
=
1
,
2
,
⋯
,
m
,
j
=
1
,
2
,
⋯
,
n
,
b
1
,
b
2
,
⋯
,
b
m
∈
P
{\displaystyle a_{ij} \in \mathbb{P},i = 1,2,\cdots,m, j=1,2,\cdots,n, b_1,b_2,\cdots,b_m \in \mathbb{P}}
{
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
⋯
+
a
1
n
x
n
=
b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
⋯
+
a
2
n
x
n
=
b
2
⋯
a
m
1
x
1
+
a
m
2
x
2
+
⋯
+
a
m
n
x
n
=
b
m
{\displaystyle \begin{cases}
a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n = b_1 \\
a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n} x_n = b_2 \\
\cdots \\
a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \cdots + a_{mn} x_n = b_m \\
\end{cases}}
以上形式称为线性方程组的标准形式，它可以简写为
∑
j
=
1
n
a
i
j
x
j
=
b
i
,
i
=
1
,
2
,
⋯
,
m
.
{\displaystyle \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j = b_i, i = 1,2,\cdots,m.}
如果存在一组
c
1
,
c
2
,
⋯
,
c
n
∈
P
{\displaystyle c_1, c_2, \cdots, c_n \in \mathbb{P}}
，用它们分别替代上式中的
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
{\displaystyle x_1,x_2,\cdots,x_n}
可以使每个等式都成立，就称有序数组
(
c
1
,
c
2
,
⋯
,
c
n
)
{\displaystyle (c_1, c_2, \cdots, c_n)}
是原方程组的一组解。无解的方程组称为无解方程组。
向量形式[]
如果设
α
j
=
(
a
1
j
a
2
j
⋮
a
m
j
)
,
j
=
1
,
2
,
⋯
,
n
{\displaystyle \alpha_j = \begin{pmatrix} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{mj} \end{pmatrix},j = 1,2,\cdots,n}
且
b
=
(
b
1
b
2
⋮
b
m
)
{\displaystyle b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}}
，则上述方程组可写为向量形式
x
1
α
1
+
x
2
α
2
+
⋯
+
x
n
α
n
=
b
.
{\displaystyle x_1 \alpha_1 + x_2 \alpha_2 + \cdots + x_n \alpha_n = b.}
这就可以用向量组理论来解释线性方程组了。
矩阵形式[]
引入矩阵的概念后，结合矩阵的乘法，上述方程组还可形式地写作
(
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
m
1
a
m
2
⋯
a
m
n
)
(
x
1
x
2
⋮
x
n
)
=
(
b
1
b
2
⋮
b
m
)
{\displaystyle \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}}
再令
A
=
(
a
i
j
)
m
×
n
{\displaystyle A = (a_{ij})_{m \times n}}
，
X
=
(
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
)
T
{\displaystyle X = (x_1, x_2, \cdots, x_n)^\text{T}}
，则
A
X
=
b
.
{\displaystyle AX = b.}
以上形式称为线性方程组的矩阵形式，
A
{\displaystyle A}
称为线性方程组的系数矩阵。
特别地，如果方程数量与变元数量一样，即
m
=
n
{\displaystyle m= n}
，称线性方程组
A
X
=
b
{\displaystyle AX = b}
为
n
{\displaystyle n}
阶线性方程组，它所对应的系数矩阵为方阵。
齐次线性方程组[]
当
b
=
θ
{\displaystyle b = \theta}
时，称上述方程组为齐次线性方程组，简称齐次组，否则称为非齐次线性方程组。
齐次组
A
X
=
θ
{\displaystyle AX = \theta}
称作对应非齐次组
A
X
=
b
≠
θ
{\displaystyle AX = b \ne \theta}
的导出组。
从向量组线性相关性的角度而言，如果
b
=
θ
{\displaystyle b = \theta}
，那么表示系数可全取
0
{\displaystyle 0}
，也就是说齐次线性组一定有零解，我们称之为平凡解。齐次方程组可解释为线性相关与线性无关问题，在
α
1
,
α
2
,
⋯
,
α
n
{\displaystyle \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n}
线性无关时，原方程组只有零解。
增广矩阵[]
对于一个线性方程组而言，称如下分块矩阵
(
A
b
)
=
(
a
11
a
12
⋯
a
1
n
b
1
a
21
a
22
⋯
a
2
n
b
2
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
a
m
1
a
m
2
⋯
a
m
n
b
m
)
{\displaystyle (A ~~ b) = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m \\
\end{pmatrix}}
为线性方程组
A
X
=
b
{\displaystyle AX = b}
的增广矩阵。
线性方程组的初等变换[]
像矩阵的三种初等变换那样，线性方程组也有三种初等变换。
将某一个方程变为原来的
k
∈
P
−
{
0
}
{\displaystyle k \in \mathbb{P} - \{0\}}
倍；
将某一个方程的
s
∈
P
{\displaystyle s \in \mathbb{P}}
倍被加到另外一个方程上去；
交换某两个方程的位置。
方程组作这三种初等变换前后是同解的，它所对应的初等变换就是它的增广矩阵做相应的初等行变换。
方程组的运算[]
像矩阵的运算那样，方程组之间也可进行运算，但是我们不能保证方程组运算时保持解的结构不变。
加法：两个变元相同、方程组中方程个数相同的方程组可相加，即将对应行的方程相加即可，这一操作可使得到的方程组的解比原来多，这个多的概念是说在导出组解空间的维数上，对应增广矩阵的加法。
数乘：对应增广矩阵的数乘，当系数
k
≠
0
{\displaystyle k \ne 0}
时就是方程组的第一类初等变换，
k
=
0
{\displaystyle k=0}
时会时解增多。
乘法：对应于矩阵乘法，它实际上是变数替换的叠加，与线性方程组理论关系不大。
上下节[]
上一节：矩阵的迹
下一节：线性方程组解的结构参考资料郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN 978-7-0304-0417-6.
线性代数（学科代码：1102110，GB/T 13745—2009）
矩阵
矩阵的转置 ▪ 矩阵的逆 ▪ 对角矩阵 ▪ 初等矩阵 ▪ 等价标准型 ▪ 分块矩阵 ▪ 伴随矩阵 ▪ 酉矩阵（正交矩阵） ▪ Hermite 矩阵（实对称矩阵） ▪ 正规矩阵（实正规矩阵） ▪ 幂等矩阵 ▪ 幂零矩阵 ▪ 对合矩阵 ▪ 秩一矩阵 >>另参见数值分析<<
行列式
Vandermonde 行列式 ▪ 行列式的展开 ▪ Laplace 展开 ▪ 三角行列式 ▪ 三对角行列式 ▪ 行列式的计算 ▪ 析因子法
向量组理论
向量组 ▪ 替换定理 ▪ 矩阵的秩 ▪ 矩阵的迹
线性方程组
Cramer 法则 ▪ 基础解系（解的结构）>>另参见数值分析<<
线性空间和内积空间
线性空间的维数和基底 ▪ 线性空间的坐标变换 ▪ 线性空间的同构 ▪ 线性子空间 ▪ 线性空间的直和 ▪ 维数公式 ▪ 线性空间上的线性函数 ▪ 双线性函数 ▪ 对称双线性度量空间 ▪ 正交补空间 ▪ 内积 ▪ Euclid 空间 ▪ 向量到子空间的距离 ▪ 最小二乘法 ▪ Gram-Schmidt 正交化
线性变换
线性映射 ▪ 线性变换 ▪ 线性变换的运算 ▪ 自同构变换 ▪ 线性变换的特征值和特征向量 ▪ 特征子空间 ▪ 特征多项式 ▪ 零化多项式 ▪ 最小多项式 ▪ 关联矩阵的特征根 ▪ 线性空间的直和分解 ▪ 幂等线性变换 ▪ 正交变换 ▪ 正定矩阵 ▪ 半正定矩阵
矩阵标准型
相似标准型 ▪ λ-矩阵 ▪ 数字矩阵的特征矩阵 ▪ Frobenius 标准形 ▪ Jacobson 标准形 ▪ Jordan 标准形
二次型理论
二次型（实二次型） ▪ 二次型的化简 ▪ 正定二次型 ▪ 一对实二次型同时化简
所在位置：数学（110）→ 代数学（11021）→ 线性代数（1102110）